Courbes en S (sigmoïde) ou Gestion de la Valeur Acquise

Courbes en S (sigmoïde) ou Gestion de la Valeur Acquise (Earned Value Management)

La Méthode des Courbes en S est un outil de suivi d’avancement Coûts et Délais utilisée en gestion de projet. Elle informe à tout moment du projet sur la situation économique et sur l’état calendaire du projet.

On parle de courbe en S (S curve en anglais) car, de manière générale, la représentation graphique typique d’un projet suit cette forme de S avec un démarrage progressif, suivi d’une accélération, puis enfin d’un ralentissement lorsque le projet touche à son terme.

La courbe est préparée lors de la planification du projet en traçant la courbe prévisionnelle d’avancement du projet. On s’y référera tout au long du projet en y reportant l’avancement réel de manière régulière. Ainsi, tout retard éventuel est identifié, ce qui permet une meilleure maîtrise du projet et empêcher d’éventuelles dérives.

Plus la courbe d’avancement réel du projet est à droite de la courbe prévisionnelle, plus le projet prend du retard.

Pour un suivi exhaustif et donc plus professionnel, on peut indiquer le suivi des coûts du projet selon le même principe.

Formule mathématique de la sigmoïde (ou courbe en S)

Cliquez sur la formule pour accéder aux propriétés mathématiques de la fonction sigmoïde.

Sigmoïdes avec différentes “pentes”. Quand le coefficient = 1, la moyenne des pentes est de 45.

Histoire de la Courbe en S

La méthode de la valeur acquise (en anglais, “Earned Value Management”, d’où l’acronyme EVM) est une méthodologie créée aux États-Unis d’Amérique pour pouvoir mesurer les performances de la production industrielle, ou de la conduite d’un projet.

La « gestion de la valeur acquise » a été concrètement appliquée pour la première fois par la United States Air Force du DoD (Department of Defense), au début des années 1960, pour un programme militaire, le « Minuteman Missile Program », ce qui a largement contribué à sa diffusion.

Plus d’informations sur l’histoire de la Courbe en S ici.

Modélisation sous Excel de la S-Curve

Vous trouverez ici les formules Excel permettant de construire une courbe en S :

- Soit B le budget initialement alloué à un projet sur X périodes (semaines, mois, ans, etc.). On utilise une courbe prévisionnelle en S de pente moyenne de 45°.
- Soit une première colonne contenant les numéros de période (colonne A).
- Soit une deuxième colonne contenant les valeurs de la courbe en S (colonne B).

B2 = B*(1-cos(radians(180*A2/X)))/2

- Soit une troisième colonne contenant les valeurs du budget sur une période P.

C2 = B2 et C3 = B3-somme(C$2:C2)

Il existe un add-in qui permet d’afficher une “vraie” courbe en S dans Microsoft Project 2010.

Description détaillée de la Courbe en S

Courbe de la Valeur Planifiée :

La valeur du travail prévu s’appelle “Valeur Planifiée”, ou “CBTP” (Coût Budgété du Travail Planifié), en anglais “Planned Value” ou BCWS : acronyme pour “Budget Cost Work Scheduled”.
La courbe prévisionnelle est calculée à partir du planning prévisionnel et de l’estimation du budget global (VP) dont les flux sont modélisés au moyen d’une sigmoïde parfaite.

Courbe du Coût Réel :

La valeur des dépenses réelles s’appelle “Coût Réel” ou “CRTE” (Coût Réel du Travail Effectué), en anglais “Actual Cost”, ou ACWP, acronyme pour “Actual Cost Work Performed”.
Tout au long du projet, on effectue un suivi des Dépenses réelles cumulées ou Coût Réel (CR). On complète cette courbe avec l’estimation du Coût global des Travaux Restant à Faire par la prévision de l’évolution de ce coût dans le temps.

Courbe de la Valeur Acquise :

La valeur du travail effectué s’appelle “Valeur Acquise” ou “CBTE” (Coût Budgété du Travail Effectué), en anglais “Earned Value” ou “BCWP”, acronyme pour “Budget Cost Work Performed”.
Tout au long du projet, on évalue la Valeur Acquise (VA) sur le Projet, c’est-à-dire la valorisation des travaux réellement effectués et physiquement constatés.

Ces trois éléments : Dépenses ou Coût Réel (CR), Budget ou Valeur Planifiée (VP) et Valeur Acquise (VA) sont donc représentés sur un même graphique, en valeurs cumulées, par trois courbes en forme de S.

A tout moment, il est donc possible de calculer les écarts (ou variances) suivants :

- l’Ecart Coût EC = VA – CR
- l’Ecart Délai ED = VA – VP

On en déduit deux indices de performance (%) :

- l’Indice de Performance Coût ou Efficience (en anglais CPI pour “Cost Performance Index”) dont la formule est IPC = VA / CR = Ce que nous avons fait / Ce que nous avons dépensé. Le coefficient d’efficience, si inférieur à 1, indique que la valeur du travail effectué est inférieure à l’argent dépensé. Le projet pourrait dépasser son budget.
- l’Indice de Performance Délai ou Efficacité (en anglais SPI pour “Schedule Performance Index”) dont la formule est IPD = VA / VP = Ce que nous avons fait / Ce que nous aurions dû faire (à cette date). Le coefficient d’efficacité, si inférieur à 1, indique que le travail effectué est inférieur au travail prévu. Le projet est en retard.

Ce sont donc ces deux indicateurs qui permettent de diagnostiquer l’état de santé du projet à tout moment et du niveau de performance atteint en termes de coût prévisionnel à achèvement et de date de fin prévisionnelle. Ils permettent donc à l’équipe projet d’anticiper et de déclencher des mesures correctrices si nécessaire.

L’estimation du Coût Prévisionnel à Terminaison (CPT) intégrée à la méthode des Courbes en S, permet de définir l’Ecart Final (EF = CPT – VP) comme troisième paramètre de pilotage.

Interprétations graphiques de la Courbe en S

Remarque préalable : tous ces graphiques proviennent du site http://www.timeperformance.com, où vous retrouverez l’ensemble de leurs explications sur l’interprétation graphique. Vous pouvez cliquer sur les graphiques pour les agrandir ou directement aller sur le site http://www.timeperformance.com/blog/20-trucs-a-astuces/45-les-secrets-du-diagramme-de-la-valeur-acquise-en-4-images.

	Cas n°1 : Dans ce cas, le projet est en avance et dépense moins que budgété. La valeur acquise est au-dessus du oût prévu et du coût réel.
	Cas n°2 : Dans ce cas, le projet est en retard et en surcoût. La valeur acquise est en-dessous du coût prévu et du coût réel.
	Cas n°3 : Dans ce cas, le projet est en surcoût bien qu’il soit en avance. La valeur acquise est en dessous du coût réel mais au-dessus du coût prévu.
	Cas n°4 : Dans ce cas, le projet est en retard mais réalise des économies par rapport au plan. En effet, la valeur acquise est en-dessous du coût prévu mais au-dessus du coût réel.
	Cas n°1 bis : Le cas n°1 bis est identique au cas n°1 sauf qu’on a plus dépensé que prévu. Cela pourrait éventuellement créer un problème de trésorerie. → Le diagramme de la valeur acquise permet de visualiser immédiatement si l’avance est suffisante pour justifier le surcoût.
	Cas n°2 bis : Le cas n°2 bis est identique au cas n°2 sauf qu’il reste du budget. → Le diagramme de la valeur acquise permet de visualiser immédiatement les causes d’un retard : mauvaise performance ou manque de ressource.

La valeur acquise est donc une notion indispensable pour informer l’état de santé du projet. Car, sauf dans le cas très rare où l’avancement réel correspond effectivement à ce qui était prévu, l’écart de coût n’est pas égal à la différence entre le coût réel et le coût prévu. La Courbe en S (et c’est là sa valeur ajoutée) permet de décrire l’avancement du projet de manière beaucoup plus précise.

Autres applications de la Courbe en S

- En photographie (notamment sur la gestion du contraste)
- Pour les analyses financières (prédictions sur le comportement de l’économie)
- En innovation (naissance, croissance, maturité et déclin d’un produit par exemple)